拖拉机驾驶证的核发部门主要是交通管理部门。根据《机动车驾驶证申领和使用规定》，拖拉机驾驶证属于农用运输车驾驶证的一种。因此，申请拖拉机驾驶证的人需要到当地交通管理部门提交相关申请材料。
在申请过程中，申请人需要提供以下材料：身份证原件及复印件、驾驶证原件及复印件、农机具作业驾驶证申请表、体检证明等。此外，还需要缴纳一定的费用，具体金额可咨询相关部门或查阅相关规定。
提交申请材料后，交通管理部门将对申请人的资格进行审核。这包括对身份证、驾驶证及体检证明的真实性进行核实，以确保申请人具备合格的驾驶拖拉机的能力和资格。
审核通过后，申请人需要参加相关的理论考试和实际操作考试。理论考试主要测试申请人对拖拉机驾驶的相关知识的掌握程度。实际操作考试则要求申请人在指定的场地或路段上完成一系列的驾驶操作，以检验其驾驶技术和安全意识。
通过理论和实际操作考试后，申请人将获得拖拉机驾驶证。通常，该证书的有效期为6年。申请人可以凭借该证书合法地驾驶拖拉机，并参与相关的农用运输活动。